La conjecture de géométrisation de Thruston, démontrée par Perelmann, stipule que toute variété de fermée, orientable et indécomposable de dimension 3 peut être découpée selon des tores, de telle sorte que l'intérieur de chaque sous-variété ainsi obtenue admette une structure géométrique de volume fini.
Les géométries modèles impliquées dans ces structures sont au nombre de huit, connues sous le nom de géométries de Thurston: l'espace euclidien $\mathbf E^3$, la sphère $S^3$, l'espace hyperbolique $\mathbf H^3$, les géométries produits $S^2 \times \mathbf E$ et $\mathbf H^2 \times \mathbf E$, les groupes de Lie Nil et Sol et enfin le revêtement universel de ${\rm SL}(2, \mathbf R)$.
Avec mes collaborateurs, nous avons développé une application permettant de simuler en temps réel ce que verraient les "habitants" de chacune de ces géométries. Dans cet exposé on expliquera la stratégie mise en œuvre pour réaliser ce programme, et le problèmes mathématiques que cela soulève. On utilisera ensuite l'application pour illustrer quelques propriétés parfois déconcertantes de la géométrie Nil.
Travail en commun avec Sabetta Matsumoto, Henry Segerman et Steve Trettel.
