Les similarités entre l'anneau des entiers et celui des polynômes sur un corps fini ont mené Léonard Carlitz (30') à introduire une arithmétique nouvelle, celle des corps de fonctions. La plupart des objets fondamentaux de l’arithmétique classique ont un avatar fonctionnel : factorielle d’un entier, nombres de Bernoulli, fonction exponentielle, polylogarithmes, valeurs zêta, etc. Plus intéressant encore, il existe des structures pour les corps de fonctions sans analogue connu pour les nombres : c’est le cas des t-motifs, introduits par Greg Anderson (86'), semblables aux motifs mixtes sur une base quelconque. Les t-motifs ont permis la démonstration de nombreuses conjectures largement ouvertes pour les nombres : pour n’en citer que deux, les conjecture de Hodge et de Grothendieck sont à présent des théorèmes dans ce contexte.
Je profiterai de cet exposé pour me présenter mathématiquement à l’équipe, et donner un survol des objets cités ci-dessus. Si le temps le permet, je déborderais sur des observations récentes, tout aussi intrigantes que spéculatives, qui laissent entrevoir une possible théorie des t-motifs pour les nombres (!!).
