Après sa célèbre intervention au congrès de 1900, Max Dehn a répondu à l'un des problèmes d'Hilbert en inventant une mesure indépendante de la mesure de Lebesgue de R3. Son but était d'établir un critère permettant de savoir quand deux polyèdres de même volumes étaient équidécomposables. Dans cet exposé, nous verrons que les quelques pyramides symétriques équidécomposables aux cubes sont très rares. Nous présenterons les principales propriétés des invariants de Dehn, puis
nos résultats. Leurs preuves ont recours à des arguments d'arithmétiques comme les extensions de Kummer abéliennes et des résultats de Conway et Jones, sur les sommes de racines de l'unité qui
s'annulent. Ce qui est surprenant c'est le parallèle que l'on peut établir avec la théorie de Galois différentielle des systèmes hamiltoniens. En effet, dans ce contexte un système suffisamment régulier dans le sens où il est intégrable, possédera des équations aux variations abéliennes. Dans notre
contexte une pyramide suffisamment régulière dans le sens ou elle est équidécomposable à un cube se verra attachée une extension de Kummer elle aussi abélienne.
Alin Bostan, Lucia Di Vizio, Kilian Raschel