Une correspondance schématique entre formes quadratiques et idéaux, un lien entre Théorie du Genre et 2-descente. Application à un problème de spécialisation

par M. William Dallaporta (Institut de Mathématiques de Toulouse)

vendredi 9 déc. 2022, 17:00 → 20:00 Europe/Paris

Amphithéâtre Laurent Schwartz, bâtiment 1R3 (Institut de Mathématiques de Toulouse)

Le cœur de cette thèse est la correspondance entre classes de formes quadratiques et classes d’idéaux dans des extensions quadratiques. Sur $\mathbb{Z}$, sélectionner les classes de formes quadratiques primitives de discriminant $\mathrm{\Delta }$ donné permet de définir une opération de groupe appelée loi de composition, comme l’a décrit Gauss au début du XIXème siècle. La structure de groupe induite sur ces classes est en fait isomorphe au groupe de Picard de la $\mathbb{Z}$-algèbre quadratique de discriminant $\mathrm{\Delta }$.

Notre premier objectif est l’extension de cet isomorphisme au cas où l’anneau de base $\mathbb{Z}$ est remplacé par un autre anneau ou schéma. Nous le réalisons dans le Chapitre 2, qui se décompose comme suit. Nous commençons par classifier les algèbres quadratiques sur un schéma vérifiant que 2 n’est pas diviseur de 0, à l’aide des invariants que sont le discriminant de Wood et la parité. Ensuite, nous obtenons un paramétrage du groupe de Picard d’une algèbre quadratique donnée par les formes quadratiques twistées. Pour ce faire, nous partons de la bijection ensembliste de Wood (2011) généralisant le résultat classique sur $\mathbb{Z}$. Pour remédier au fait que certaines classes du groupe de Picard sont identifiées dans la bijection, nous étendons la notions d’orientation des algèbres quadratiques au cas non-libre, et nous utilisons notre classification pour conclure. Tout au long du Chapitre, nous illustrons diverses notions et obstructions avec une large variété d’exemples. 

Ensuite, nous portons notre intérêt sur la Théorie du Genre des formes quadratiques. Étant donnée une forme q à coefficients dans $\mathbb{Z}$ et de discriminant $\mathrm{\Delta }$, l’opération qui associe à q son ensemble de valeurs modulo $\mathrm{\Delta }$ conduit à un morphisme de groupes bien connu, que nous appelons le morphisme de la Théorie du Genre. Dans le Chapitre 3, nous généralisons la Théorie du Genre au cas où $\mathbb{Z}$ est remplacé par un anneau principal de caractéristique différente de 2. Comme nous faisons ceci dans le cadre donné par le Chapitre 2, nous montrons comment retrouver la théorie classique sur $\mathbb{Z}$. Sur $K[X]$, quand le discriminant a une forme spécifique, nous utilisons le lien entre la Jacobienne d’une certaine courbe hyperelliptique $C$ et le groupe de Picard de $C\setminus \{\mathrm{\infty }\}$ pour démontrer que le morphisme de la Théorie du Genre est la version “forme quadratique” du morphisme de 2-descente sur $C$. 

Pour conclure, soient $K$ un corps de nombres et I un idéal non principal de la $K[X]$-algèbre quadratique dont le discriminant vérifie certaines hypothèses. Nous considérons $O_{K,S}$ l’anneau des $S$-entiers où $S$ est un ensemble d’idéaux premiers bien choisis. Alors notre dernier résultat est d’utiliser la Théorie du Genre pour prouver que si I n’est pas un carré dans le groupe de Picard, alors nous pouvons trouver une infinité de $n\in O_{K,S}$ tels que l’idéal $I$ “évalué” en $X=n$ n’est pas dans le noyau du morphisme de la Théorie du Genre sur $O_{K,S}$. De plus, nous montrons que l’ensemble de ces $n\in O_{K,S}$ est de densité 1 pour toute densité “raisonnable”.