Dans cette thèse, nous étudions une classe de processus ponctuels auto-régressifs, celle des processus de Hawkes. Ces processus ont des applications dans plusieurs domaines comme la neuroscience, les assurances et les réseaux sociaux. Nous nous concentrons sur l'approximation de ces processus sur la droite réelle ou bien en temps long.
Le chapitre 2 porte sur l'approximation des processus de Hawkes non linéaires, éventuellement avec une intensité perturbée par un bruit gaussien. Le processus non linéaire a l'avantage de permettre de modéliser l'auto-inhibition. Comme les processus dont les noyaux sont des fonctions d'Erlang ont une structure markovienne, on propose une chaîne de Markov d'approximation. On montre la convergence de cette chaîne vers le processus en temps continu quand le pas de temps tend vers zéro, étendant ainsi l'approximation de Kirchner (2016) qui est valable uniquement pour les processus linéaires et dont la démonstration nécessite des techniques différentes. En guise d'application, on calibre numériquement le processus en temps continu en ayant recours à une régression sur son approximation discrète.
Le chapitre 3, qui est une collaboration avec Caroline Hillairet, Lorick Huang et Anthony Réveillac, est dédié à l'application de la méthode de Malliavin-Stein aux processus de Hawkes linéaires. On y démontre des bornes sur la distance de Wasserstein entre les fonctionnelles de Hawkes et une gaussienne quelconque. En considérant les processus de Hawkes comme un amincissement d'une mesure de Poisson générale, on développe un calcul de Malliavin spécifique à ces processus. Ce résultat est appliqué ensuite pour obtenir, pour la première fois, la vitesse de convergence du processus de Hawkes normalisé vers sa limite gaussienne pour une classe spéciale de noyaux.
Au chapitre 4, on étend les opérateurs de Malliavin définis dans le chapitre 3 aux dimensions supérieures, afin de travailler avec les processus de Hawkes linéaires multivariés. En mesurant la distance entre le processus de Hawkes et sa limite gaussienne multidimensionnelle avec une distance de Wasserstein adéquate, on généralise la borne obtenue au chapitre précédent. Par suite, on l'étend aux processus composés évalués à différentes marginales de temps.
Le chapitre 5, plus applicatif, généralise le travail de Karabash et Zhu (2015) à une police d'assurances dont les sinistres arrivent selon un processus de Hawkes linéaire marqué. On y démontre un théorème central limite quantitatif, ainsi qu'un principe de grandes déviations (PGD) en donnant des preuves détaillées. Le PGD est utilisé par la suite pour quantifier la probabilité de ruine asymptotique de la police. Finalement, on illustre la probabilité de ruine sur un exemple numérique et on la compare au modèle classique de Cramér-Lundberg.
