Balade newtonienne entre analyse et arithmétique (1)

• Antoine Chambert-Loir

Room: Amphithéâtre Painlevé Inventés par Kurt Hensel à la toute fin du 19e siècle sur le modèle des séries en une indéterminée, les nombres p-adiques sont devenus non seulement un outil indispensable de l'arithmétique contemporaine, mais un sujet d'étude en soi. Dans ces deux exposés, j'expliquerai leur construction, comment ils s'insèrent dans un cadre plus vaste, entre analyse et arithmétique, où deux constructions portant le nom d'Isaac Newton jouent un rôle central : la méthode de Newton et la notion de polygone de Newton.

Nombres complexes, nombres p-adiques : à la croisée des chemins (1)

• Jérôme Poineau

Room: Amphithéâtre Painlevé Du point de vue arithmétique, l’ensemble des nombres p-adiques apparaît aussi naturel que celui des nombres réels ou complexes, mais leurs profondes différences topologiques s’opposent au développement d'une géométrie p-adique suivant les pas de la géométrie classique. À la fin des années 1980, Vladimir Berkovich a défini des espaces contenant les nombres p-adiques (ou les séries de Laurent, ou tout autre corps ultramétrique donné) et permis, dans une large mesure, de rétablir le parallélisme espéré entre routes archimédienne et non archimédienne. Je présenterai la construction de Berkovich en insistant sur les points de convergence et de divergence avec le paysage complexe. Pour finir, je détaillerai une application à la dynamique des polynômes complexes bivariés, due à Charles Favre et Mattias Jonsson.

Arithméticité des temps de passage (1)

• Serge Cantat

Room: Amphithéâtre Painlevé En 1933, Skolem a démontré le résultat suivant : si (u_n) est une suite de nombres rationnels définie par une relation de récurrence linéaire, l’ensemble des indices n en lesquels u_n s’annule est une union finie de progressions arithmétiques. Ce théorème a été étendu aux suites de nombres complexes, plutôt que rationnels, par Mahler et Lech. Nous disposons aujourd’hui de résultats plus généraux concernant certaines suites définies par des relations de récurrences polynomiales. De manière surprenante, les seules démonstrations connues utilisent toutes quelques rudiments d’analyse p-adique. Je décrirai ce type de résultats et leur démonstration; ils font maintenant partie d’un thème en plein essor, la dynamique arithmétique.

Balade newtonienne entre analyse et arithmétique (2)

• Antoine Chambert-Loir

Room: Amphithéâtre Painlevé Inventés par Kurt Hensel à la toute fin du 19e siècle sur le modèle des séries en une indéterminée, les nombres p-adiques sont devenus non seulement un outil indispensable de l'arithmétique contemporaine, mais un sujet d'étude en soi. Dans ces deux exposés, j'expliquerai leur construction, comment ils s'insèrent dans un cadre plus vaste, entre analyse et arithmétique, où deux constructions portant le nom d'Isaac Newton jouent un rôle central : la méthode de Newton et la notion de polygone de Newton.

Arithméticité des temps de passage (2)

• Serge Cantat

Room: Amphithéâtre Painlevé En 1933, Skolem a démontré le résultat suivant : si (u_n) est une suite de nombres rationnels définie par une relation de récurrence linéaire, l’ensemble des indices n en lesquels u_n s’annule est une union finie de progressions arithmétiques. Ce théorème a été étendu aux suites de nombres complexes, plutôt que rationnels, par Mahler et Lech. Nous disposons aujourd’hui de résultats plus généraux concernant certaines suites définies par des relations de récurrences polynomiales. De manière surprenante, les seules démonstrations connues utilisent toutes quelques rudiments d’analyse p-adique. Je décrirai ce type de résultats et leur démonstration; ils font maintenant partie d’un thème en plein essor, la dynamique arithmétique.

Nombres complexes, nombres p-adiques : à la croisée des chemins (2)

• Jérôme Poineau

Room: Amphithéâtre Painlevé Du point de vue arithmétique, l’ensemble des nombres p-adiques apparaît aussi naturel que celui des nombres réels ou complexes, mais leurs profondes différences topologiques s’opposent au développement d'une géométrie p-adique suivant les pas de la géométrie classique. À la fin des années 1980, Vladimir Berkovich a défini des espaces contenant les nombres p-adiques (ou les séries de Laurent, ou tout autre corps ultramétrique donné) et permis, dans une large mesure, de rétablir le parallélisme espéré entre routes archimédienne et non archimédienne. Je présenterai la construction de Berkovich en insistant sur les points de convergence et de divergence avec le paysage complexe. Pour finir, je détaillerai une application à la dynamique des polynômes complexes bivariés, due à Charles Favre et Mattias Jonsson.