D'une part, le modèle des chemins introduit par Littelmann en 1994 est un outil combinatoire qui décrit la théorie des représentations de toute algèbre de Kac-Moody symétrisable. Les chemins dans ce modèle sont linéaires par morceaux dans l'espace vectoriel réel de dimension finie engendré par les poids fondamentaux. Mais cet espace vectoriel ainsi que son arrangement d'hyperplans affines est aussi l'appartement standard d'un objet appelé la masure, introduit par Gaussent et Rousseau en 2008. La masure joue le rôle de l'immeuble de Bruhat-Tits dans le cadre Kac-Moody. D'autre part, en dimension finie et en 2000, Mirkovic et Vilonen ont développé un modèle géométrique des représentations mentionnées ci-dessus, en introduisant des sous-variétés de la Grassmannienne affine associée à un groupe réductif. La plupart des informations algébriques peuvent être lues dans des polytopes naturellement associés. En 2014, Baumann, Kamnitzer et Tingley ont défini les polytopes de Mirkovic-Vilonen dans le cadre de Kac-Moody en utilisant des algèbres préprojectives. Notre objectif est de profiter de la nature combinatoire et géométrique de la masure pour réaliser les polytopes de Mirkovic-Vilonen directement à partir des chemins de Littelmann, dans le cadre de sl2 affine.
Il s'agit d'un rapport sur un travail réalisé avec Stéphane Gaussent.
