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v3.2.9
Dans ce travail, nous nous intéressons à l'analyse de la configuration optimale des ressources (typiquement la nourriture) nécessaires à la survie d'une espèce. Pour cela, nous utilisons l'équation diffusive logistique
$$\begin{aligned}\partial_t\theta&=\mu \Delta \theta(x)+(m(x)-\theta(x))\theta(x) &&t>0, \ x\in \Omega,\\ \frac{\partial \theta}{\partial \nu}& =0 &&x\in \partial \Omega,\end{aligned}$$ où $\theta$ représente les densités de population, $m$ représente la distribution des ressources et $\mu>0$ représente la vitesse de l'espèce également appelée taux de diffusion. Ce système modélise l'évolution de la densité de population en impliquant un terme représentant la diffusion hétérogène (dans l'espace) des ressources. La question principale étudiée dans cet exposé s'écrit : comment répartir de manière optimale les ressources dans un habitat fermé ?
Ce problème peut être reformulé
- soit comme celui de la minimisation de la valeur propre principale d'un opérateur elliptique,
- ou de maximiser la taille totale de la population (donnée par $\int_\Omega \theta$)
par rapport au domaine occupé par les ressources, sous une contrainte de volume. En utilisant des techniques de symétrisation, ainsi que des conditions d'optimalité nécessaires, nous prouvons de nouveaux résultats qualitatifs sur les solutions. En particulier, nous étudions l'optimalité de configurations particulières et le comportement asymptotique des optimiseurs lorsque $\mu$ tend vers $+\infty$.