Les inégalités fonctionnelles sont des inégalités qui encodent beaucoup d'information, tant de nature probabiliste (concentration de la mesure), qu'analytique (théorie spectrale des opérateurs) ou encore géométrique (problème isopérimétrique). L'inégalité de Poincaré en est un exemple fondamental. Dans cette thèse, nous obtenons en particulier des résultats de stabilité de la constante de Poincaré dans le cadre d'hypothèses de normalisation de moments, ainsi que dans le cadre de conditions de courbure-dimension. Un résultat de stabilité est une façon de quantifier l’écart entre deux mesures satisfaisant presque la même inégalité fonctionnelle. Les résultats de stabilité obtenus dans cette thèse utilisent la méthode de Stein, méthode provenant du domaine des statistiques et en plein développement ces dernières années.
