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v3.2.9
Cette thèse porte sur des développements d’optique géométrique multiphasée, pour des problèmes aux limites hyperboliques et quasi-linéaires, c’est-à-dire des développements asymptotiques de solutions approchées de ces systèmes, pour lesquels le terme de bord oscille à une fréquence élevée suivant plusieurs phases planes au bord. On se place dans un cadre faiblement non-linéaire, c’est-à-dire que le terme de bord est d’ordre $O(\varepsilon)$ quand les fréquences sont d’ordre $O(1/\varepsilon)$.
Dans une première partie, on s’intéresse à un problème aux limites satisfaisant la condition de Kreiss-Lopatinskii uniforme, et l’on construit pour ce problème le premier terme d’un développement BKW pour la solution approchée. La multiplicité des fréquences au bord engendre, à l’intérieur du domaine, un nombre infini dénombrable de fréquences, nous contraignant à utiliser un cadre de fonctions presque-périodiques, ici au sens de Bohr. La principale difficulté de ce travail réside dans le défaut de symétrie dans le système vérifié par le profil principal, et l’occurence d’une infinité de résonances (à l’inverse du cas d’une seule phase étudié précédemment). Le profil principal est alors obtenu comme la solution d’un problème quasi-linéaire, qui est résolu à l’aide d’estimations a priori sans perte de dérivée. Les hypothèses de cette partie sont illustrées avec l’exemple des équations d’Euler compressibles isentropiques en dimension deux d’espace.
La deuxième partie est consacrée à l’étude de l’instabilité de développements d’optique géométrique pour des problèmes aux limites faiblement stables, où le terme de forçage au bord subit une perturbation de petite amplitude, oscillant suivant une fréquence transversale. Puisque les fréquences au bord appartenant au lieu d’annulation du déterminant de Lopatinskii, les amplifications au bord donnent lieu à un système hautement couplé d’équations pour les profils. Un modèle jouet de ce système est résolu dans un cadre de fonctions analytiques, à l’aide du théorème de Cauchy-Kovalevskaya, et d’une version de celui-ci assurant l’analyticité en temps et en espace. On montre ensuite que, à travers les résonances et les amplifications, une configuration particulière de fréquences au bord peut donner lieu à une instabilité, c’est-à-dire que la petite perturbation au bord peut intervenir à l’ordre principal dans le développement asymptotique. On étudie enfin la possibilité qu’une telle configuration de fréquences au bord existe pour l’exemple des équations d’Euler compressibles isentropiques en dimension trois d’espace.