Séminaire SPACE Tours

Groupes de tresses, groupes d'Artin, groupes de Garside : une introduction

by Thomas Gobet (Université de Tours)

Europe/Paris
E2 1180 (Tours)

E2 1180

Tours

Description

Les groupes de tresses ont été introduits par Emil Artin en 1925 et possèdent des incarnations dans divers domaines des mathématiques, tels que la théorie des nœuds, la théorie des représentations, la physique mathématique... Artin a donné une définition de "tresse géométrique" qui correspond à l'intuition que l'on a d'une tresse au sens capillaire. L’une des généralisations possibles des groupes de tresses, de nature algébrique, est donnée par les groupes d’Artin (ou groupes d’Artin–Tits). Ceux-ci sont définis par générateurs et relations à partir d’un système de Coxeter arbitraire. On s’attend à ce que diverses propriétés algébriques des groupes de tresses se généralisent aux groupes d’Artin généraux. On conjecture par exemple qu’ils admettent une solution au problème des mots, sont sans torsion, ou encore que leur centre est trivial lorsqu’ils sont associés à un système de Coxeter infini et irréductible. Malgré d’importants progrès durant les cinquante dernières années, ces questions restent ouvertes pour les groupes d’Artin généraux. Nous présenterons quelques-unes de ces conjectures et questions, qui sont résolues dans le cas où le groupe d’Artin est de type sphérique, c’est-à-dire, associé à un système de Coxeter fini. Une façon de répondre à ces questions de façon essentiellement uniforme dans ce cas-là est de réaliser les groupes d’Artin comme groupes de Garside. Nous présenterons la combinatoire des groupes de Garside, et expliquerons pourquoi de tels groupes admettent une solution au problème des mots, sont sans torsion et possèdent un centre non trivial.