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L'hydrodynamique, est-elle capable de calcul universel? Cette question a été formulée par Moore en 1991 et récemment revisitée par Tao en relation avec le problème de régularité globale pour les équations d'Euler et de Navier-Stokes. Dans cet exposé, nous allons introduire les systèmes dynamiques « complets de Turing » et montrerons comment construire une solution stationnaire aux équations d'Euler sur une sphère Riemannienne de dimension 3 qui est complète de Turing. Ceci est basé sur un travail, en collaboration avec E. Miranda, D. Peralta-Salas et F. Presas, qui exploite la connexion entre l'hydrodynamique et la géométrie de contact établie par Etnyre et Ghrist. Une caractéristique surprenante d'un système dynamique complet de Turing est qu'il possède des trajectoires indécidables, dévoilant ainsi une complexité différente de la classique sensibilité aux conditions initiales. Des variations de cette construction nous permettent de construire des flots d'Euler (qui sont aussi de Reeb) possédant des orbites dont la périodicité est indécidable. Si le temps le permet, on parlera d'autres travaux en collaboration avec E. Miranda et D. Peralta-Salas qui étudient l'existence de flots d'Euler complets de Turing qui sont soit dépendants du temps dans des variétés de haute dimension, soit stationnaires dans l'espace tridimensionnel euclidien.