Types de réduction de courbes de genre 3

par Elisa Lorenzo Garcia

vendredi 11 mars 2022, 10:30 → 11:30 Europe/Paris

112 (ICJ)

 

Soient a et b des entiers. La courbe elliptique $E:\,y^2=x^3+ax+b$ a bonne réduction modulo p si et seulement si p ne divise pas le discriminant $\Delta(E)=-16(4a^3+27b^2)$. En plus, grâce à Tate on sait que la courbe E a potentiellement bonne réduction si et seulement si p ne divise pas le dénominateur du j-invariant de E. Pour les courbes de genre 2, Liu donne des résultats équivalents en terme des invariants d'Igusa et en plus il caractérise toutes les possibilités pour le type de réduction (i.e. pour le fibre spéciale du modèle stable de la courbe). Dans cet exposé je ferai un résumé de ces résultats et je présenterai mes résultats pour les courbes de genre 3. Les difficultés dans ce cas-là ne viennent pas seulement du fait qu'il y a beaucoup plus de possibilités pour les types de mauvaise réduction mais aussi pour un nouvelle phénomène qui apparaît en genre 3 : la réduction hyperelliptique. On utilisera des modèles spéciaux pour les courbes, un peu de théorie des invariants, des action des groupes, fonctions thetas de Mumford, de la théorie de revêtements admissibles et des octets de Cayley parmi des autres outils.