La notion de concentration de la mesure a été inventée au début des années 70 par V. Milman dans sa démonstration du théorème de Dvoretzky, qui est un résultat central en théorie locale des espaces de Banach. Elle est depuis devenue omniprésente, non seulement en analyse mais aussi en théorie des probabilités et en statistiques. Je présenterai d’abord les cas classiques de la mesure uniforme sur la sphère et de la mesure gaussienne. J’essaierai ensuite de mettre en lumière le rôle de la convexité dans les inégalités de concentration, en présentant par exemple le cas des mesures uniformément log-concaves (critère de Bakry–Émery). Enfin j’évoquerai la conjecture de Kannan, Lovasz et Simonovits, formulée dans les années 90, et qui postule une propriété de concentration universelle (c’est-à-dire indépendante de la dimension) des mesures log-concaves. J’essaierai en particulier d’expliquer pourquoi cette conjecture a pris une telle importance, en présentant quelques unes de ses conséquences pour la théorie asymptotique des corps convexes.
