On considère des surfaces réelles qui sont des perturbations analytiques réelles de quadriques de Bishop de (C^2,0) ayant une singularité CR isolée à l'origine. Il y a 2 types de singularités stables, les elliptiques et les hyperboliques. Le cas elliptique a été étudié par Moser-Webster. Ils ont montré qu'elles sont biholomorphiquement équivalentes à une "forme normale" au voisinage de la singularité CR. De nombreuses propriétés peuvent être lues directement sur ces formes normales.
Dans cet exposé, après avoir rappeler la théorie de Moser-Webster, nous considérons le cas des singularités hyperboliques. Nous montrons que pour de telles surfaces "non-degénérées", il existe une famille (non-constante) de surfaces de Riemann intersectant la variété le long d'une hyperbole holomorphe. La preuve est une conséquence d'un théorème de type KAM pour des germes d'involutions holomorphes au voisinage d'un point fixe. Ceci est un travail en collaboration avec Zhiyan Zhao (Nice).