La mesure de Mahler d'un polynôme à coefficients entiers est sa moyenne géométrique sur le cercle unité, et le fameux Problème de Lehmer étudie si ces mesures de Mahler admettent un point d'accumulation autour de 1.
En 2019, Lück étendit cette question aux déterminants de Fuglede-Kadison des groupes sans torsion, qui sont des déterminants définis pour des opérateurs équivariants de dimension infinie; les constantes de Lehmer d'un groupe mesurent alors l'éventuel écart autour de 1 des déterminants de Fuglede-Kadison pour ce groupe.
Dans la première partie de cet exposé, j'introduirai ces divers concepts et je vous présenterai de nouvelles valeurs de déterminants de Fuglede-Kadison sur les groupes libres, qui m'ont permis de donner de nouvelles bornes sur les constantes de Lehmer pour une large classe de groupes.
Si le temps le permet, je présenterai également des bornes plus fines pour les groupes de 3-variétés hyperboliques.
Dans la seconde partie, je détaillerai les techniques utilisées pour calculer ces déterminants, et leurs connections avec les marches aléatoires sur les arbres, le volume hyperbolique et les torsions L².