Des points fixes de contraction aux lois de Bernouilli
par
Jean-Bernard Baillon(Université Paris 1 - Panthéon Sorbonne)
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Europe/Paris
XLIM Salle X.203
XLIM Salle X.203
FST-Université de Limoges,
123, Av. Albert Thomas.
Description
(Travail en commun avec Roberto Cominetti et José Vaisman).
Soit $T:E\mapsto E$ une contraction non linéaire dans un espace vectoriel normé $E$. On suppose que l'ensemble $Fix(T)$ des points fixes de $T$ est non vide.
On considère l'itération
$$ x_n=(1-\alpha_n)x_{n-1} + \alpha_n Tx_{n-1} $$
avec $x_0 \in E$ et $0<\alpha_n<1$.
L'inégalité
$$ || x_n - Tx_n || \leq C \frac{dist(x_0,Fix(T)}{\sqrt{\sum \alpha_n (1-\alpha_n)}} $$
a été conjecturée en 1996.
Dans le cas où $\alpha_n$ est constant, $C=\frac{2}{\sqrt{\pi}}$ a été trouvé. Dans le cas général, cette même constante a été trouvée en 2013.
Nous nous intéresserons ici au cas où $T$ est affine. On montre dans ce cas que $C=2 \eta =0,9376$. Pour démontrer ce résultat, on fera appel aux lois de Bernoulli.
En particulier, on montre que si $S_n = X_1+...+X_n$ est une somme de lois de Bernoulli indépendantes, de paramètre $p_i$ de variance $\sigma_n^2= \sum p_i(1-p_i)$, alors la meilleure constante $\eta$ qui vérifie:
$$ \sigma_n P(S_n=j) \leq \eta $$
pour tout j,n et p_i, est donnée par
$$ \eta= Max [ \sqrt{2\lambda}\exp(-2\lambda)\sum_{k=0}^\infty (\frac{\lambda^k}{k!})^2 ] = 0,4688... $$