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v3.2.9
Un réseau cocompact d’un groupe de Lie semi-simple G est un sous-groupe discret Gamma tel que le quotient Gamma\G soit compact. Un tel réseau contient-il toujours un sous-groupe de surface, à savoir un sous-groupe isomorphe au groupe fondamental d’une surface hyperbolique compacte ? Si oui, contient-il des sous-groupes de surface qui soient proches (dans un sens quantitatif précis) de sous-groupes fuchsiens de G, c’est-à-dire de sous-groupes discrets de contenus dans une copie de PSL(2,R) dans G ?
Le cas G=PSL(2,C) correspond à une fameuse conjecture de Thurston sur les variétés hyperboliques de dimension , et la version quantitative du cas G=PSL(2,R)xPSL(2,R) à la conjecture d’Ehrenpreis sur les paires de surfaces hyperboliques compactes ; ces deux conjectures ont été démontrées par Kahn et Marković il y a une dizaine d’années. Motivée par une question de Gromov, Hamenstädt a résolu le cas où G est de rang réel un à l’exception de G=SO(2n,1). Dans une prépublication récente, Kahn, Labourie et Mozes traitent le cas d’une large classe de groupes semi-simples G, incluant notamment tous les groupes de Lie simples complexes ; les groupes de surface qu’ils obtiennent sont des images de représentations anosoviennes au sens de Labourie. Nous donnerons quelques idées de leur démonstration.