Les groupes finis simples sont classés (on dispose d'une preuve longue et compliquée ; certains vérifient cette preuve, et d’autres vérifient la vérification - en somme, tout va bien). En matière de simplicité, l’étape suivante consiste à justifier l’existence de groupes simples qui soient les plus petits possibles parmi les groupes infinis (on peut même espérer en construire). Les groupes concernés sont les groupes qui sont infinis mais engendrés par un sous-ensemble fini (ils sont forcément dénombrables). On va voir que dans ce cadre la question n’est pas facile du tout ; en tout cas, vos groupes de matrices préférés ne feront pas l’affaire !