Suivant l'intuition originale de Langlands la fin des années 1970, il devrait exister une généralisation non abélienne de la théorie du corps de classes, connue aujourd'hui sous le nom de correspondances de Langlands. Celles-ci peuvent être à coefficients dans différents corps : le corps des nombres complexes $\mathbb{C}$ (auquel cas l'on parle de correspondances classiques, celui des nombres $p$-adiques $\mathbb{Q}_p$ pour $p$ entier premier arbitraire (auquel cas l'on parle de correspondances $p$-adiques) ou des corps finis de caractéristique positive $p$ (auquel cas l'on parle de correspondances modulo $p$). Le dernier cas mentionné est motivé par des questions arithmétiques profondes, mais est loin d'être compris, en particulier lorsque le groupe impliqué est un groupe défini sur un corps local de caractéristique résiduelle $p$. Dans ce contexte, des phénomènes très étranges se produisent et sont loin d'être expliqués (voire même compris), même pour des groupes aussi élémentaires que $GL_{2}(F)$ ou $SL_{2}(F)$ avec $F$ extension finie non triviale de $\mathbb{Q}_{p}$, l'une des difficultés majeures résidant dans la compréhension des représentations lisses irréductibles de ces groupes.
Dans la première partie de cet exposé, nous expliquerons ce que signifie le paragraphe précédent, et présenterons un état des lieux de ce qui est actuellement connu dans ce cadre. Cette partie ne nécessite pas de connaissance spécifique sur la théorie des représentations ou sur les objets $p$-adiques car nous rappellerons les définitions nécessaires et nous concentrerons essentiellement sur le cas du groupe spécial linéaire $SL_{2}$.
La seconde partie de cet exposé présentera quelques résultats issus d'un travail en commun avec Julien Hauseux, où nous étudions la restriction à un parabolique minimal des représentations lisses irréductibles $p$-modulaires des groupes $p$-adiques de rang $1$, i.e. de la forme $\mathcal{G}(F)$ avec $\mathcal{G}$ groupe réductif connexe défini sur $F$ de $F$-rang semi-simple $1$ et $F$ corps local non archimédien de corps résiduel fini et de caractéristique résiduelle $p$.