Soit Mg,n l’espace de module des surfaces de Riemann de genre g à n points marqués. Cet espace est naturellement
muni de la métrique de Teichmüller, une métrique de Finsler qui permet de comparer les structures conformes sur les
surfaces, et qui coïncide avec la métrique de Kobayashi. Une sous-variété de Mg,n est dite extittotalement géodésique
si elle contient toutes les géodésiques de Teichmüller qui lui sont tangentes. Les sous-variétés totalement géodésiques
de dimension (complexe) 1, appelées courbes de Teichmüller, sont relativement bien étudiées depuis les premières
constructions de Veech dans les années 80 ; elles sont en particulier infiniment nombreuses dans chaque espace de
module Mg,n. Récemment, Wright a montré, en s’appuyant sur des résultats de finitude d’Eskin, Filip et Wright, qu’en
dimension plus grande, ce n’était plus le cas : il n’y a qu’un nombre fini de telles sous-variétés dans chaque Mg,n. Dans
cet exposé nous présenterons la preuve de ce résultat : plus précisément nous expliquerons comment se ramener
aux résultats d’Eskin–Filip–Wright en passant par les sous-variétés linéaires des espaces de modules de différentielles
abéliennes. Nous présenterons également les constructions d’exemples primitifs de dimension 2 en petit genre d’Eskin–
McMullen–Mukamel–Wright.
