Dynamiques de masses de Dirac dans des modèles EDP issus de la biologie évolutive

• Cécile Taing (Université de Poitiers)

Room: Amphi 400 Bât. d'Orbiny Mes travaux portent sur l'étude de modèles de populations structurées en trait phénotypique en tenant compte des phénomènes d'adaptation et de mutations, afin de montrer la sélection d'individus les plus adaptés dans un environnement donné. La description de ces problèmes biologiques conduit à l'étude d'équations non linéaires et non locales, avec la présence d'un petit paramètre qui induit deux échelles de temps. Les solutions asymptotiques de ces équations sont des distributions de populations dans l'espace des traits et se concentrent en masses de Dirac en les traits dominants. Afin de prouver la convergence des distributions de populations, une approche WKB a été adaptée et fait apparaître une équation de Hamilton-Jacobi sous contraintes. L'analyse  de ce deuxième problème permet de contourner les difficultés posées par les différentes échelles et d'identifier la trajectoire des points de concentration. Dans cet exposé, je présenterai les étapes de cette approche sur plusieurs exemples.

Géométrie généralisée et graduée en mécanique et physique théorique

• Vladimir Salnikov (CNRS, Université de La Rochelle)

Room: Amphi 400 Bât. d'Orbiny Dans cet exposé je vais décrire certains objets de la géométrie dite généralisée et graduée, qui apparaissent naturellement dans l'analyse des systèmes mécaniques et en physique des hautes énergies. En particulier on va parler des structures de Dirac et des variétés différentielles graduées (Q-variétés). Du point de vue mathématique, les structures de Dirac généralisent à la fois les structures symplectiques et de Poisson, et les Q-variétés fournissent une description uniforme des ces structures ainsi que beaucoup d'autres de la géométrie différentielle moderne. Pour la mécanique, l'idée est de concevoir les schémas numériques qui préservent ces structures et garantissent ainsi le bon comportement physique dans la simulation. En physique elles sont utiles pour l'analyse des symétries et des équations de mouvement des systèmes des particules élémentaires. [1] V.Salnikov, A.Hamdouni, D.Loziienko, Generalized and graded geometry for mechanics: a comprehensive introduction, Mathematics and Mechanics of Complex Systems, Vol. 9, No. 1, 2021 [2] V.Salnikov, T.Strobl, Dirac Sigma Models from Gauging, Journal of High Energy Physics, 11/2013 [3] V.Salnikov, Supersymmetrization: AKSZ and beyond?, Russian Journal of Mathematical Physics, Vol. 27, No. 4, 2020

Algebraic lattices in cryptography

• Alice Pellet-Mary (Université de Bordeaux)

Room: Amphi 400 Bât. d'Orbiny Finding short vectors in a lattice of large dimension is a problem that is believed to be hard to solve even with a quantum computer. For this reason, it has been used in the past 20 years to construct a lot of post-quantum cryptographic protocols (i.e., protocols which we hope are secure even against a quantum computer). In order to improve efficiency of the cryptographic protocols, we often use lattices that have some extra algebraic structure (for instance, lattices that are also ideals of a number field). The objective of this talk is to review recent algorithms that have been developed to compute short vectors in these algebraically structured lattices. We will see that thanks to the extra algebraic structure, it is sometimes slightly easier to find short vectors in these lattices than in the non-structured lattices.

La résolution des équations quadratiques entre les pays d’Islam et l’Europe latine

• Marc MOYON (Univ. Limoges, CNRS, XLIM, UMR 7252)

Room: Amphi 400 Bât. d'Orbiny Dans le vaste mouvement d’appropriation par l’Europe latine des sciences des pays d’Islam, l’algèbre occupe une importante place. En particulier, le Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala [Livre condensé sur le calcul par la restauration et la comparaison] d’al-Khwārizmī, texte rédigé à Bagdad entre 813 et 833 et reconnu comme l'acte de naissance officiel de la discipline, est plusieurs fois traduit en latin puis en langue vernaculaire. Il fait partie des premiers témoins de l’introduction de la résolution des équations du second degré en territoires latins. À partir de l’historiographie, je reviendrai dans un premier temps sur ce qu’est l’algèbre arabe. Dans un second temps, je présenterai le vaste mouvement de traductions arabo-latines du 12e siècle qui a permis aux savants du nord des Pyrénées de découvrir le texte d’al-Khwārizmī ou certaines de ses adaptations. Je m’attacherai enfin, en donnant à voir des documents originaux, à un texte particulier, le Liber restaurationis [Livre de la restauration] en interrogeant son statut et les éléments d’innovation qu’il contient.

Méthode de volumes finis pour la mécanique des fluides compressibles et problème de précision à bas nombre de Mach.

• Jonathan Jung (Université de Pau)

Room: Amphi 400 Bât. d'Orbiny Je m'intéresse aux méthodes numériques pour la résolution de systèmes d'équations aux dérivées partielles, notamment pour la mécanique des fluides compressibles. Plus particulièrement, je travaille sur les méthodes de volumes finis (ordre un) et de Galerkin discontinue (ordre élevé). Le nombre de Mach est un nombre adimensionné correspondant au rapport entre la vitesse du fluide et la vitesse du son dans ce fluide. Au niveau continu, sous certaines hypothèses, la solution compressible converge vers la limite incompressible quand le nombre de Mach tend vers 0. Au niveau discret, les schémas de type volumes finis ne permettent pas de retrouver la limite incompressible quand le nombre de Mach est petit : on dit qu'ils ne sont pas précis à bas nombre de Mach. Augmenter l'ordre de la méthode numérique via une méthode de Galerkin discontinue n'est pas suffisant pour retrouver la précision à bas nombre de Mach. Les schémas numériques nécessitent une correction. Dans cet exposé, je vous expliquerai plus en détail le problème de précision à bas nombre de Mach ainsi que les correctifs proposés.

Contributions récentes en théorie de Galois différentielle effective

• Thomas Cluzeau (Université de Limoges)

Room: Amphi 400 Bât. d'Orbiny Dans cet exposé, je m’intéresserai à un système d’équation différentielles linéaires. Le groupe de Galois (algébrique) classique d’un polynôme permet de mesurer certaines propriétés des racines du polynôme. De la même façon, pour un système différentiel linéaire, il existe un groupe de Galois différentiel qui permet de mesurer certaines propriétés des solutions du système différentiel. Ce groupe de Galois différentiel étant un groupe linéaire algébrique, il est naturel de s’intéresser à son algèbre de Lie qui à elle seule donne des informations sur les solutions. Il existe quelques algorithmes « théoriques » pour le calcul du groupe de Galois différentiel mais, à l’heure actuelle, aucun d’entre eux n’est utilisable en pratique (en particulier, il n’existe pas d’implémentation de ces algorithmes). Dans cet exposé, je montrerai comment plusieurs résultats et algorithmes développés au sein de l’équipe Calcul Formel du laboratoire XLIM de l’Université de Limoges ont permis d’obtenir un algorithme pour le calcul de l’algèbre de Lie du groupe de Galois différentiel d’un système d’équations différentielles linéaires. Cet algorithme est implémenté dans le logiciel de calcul formel Maple.

Modèle de Boltzmann sur réseau à temps de relaxation multiple pour les équations d'advection-diffusion. Applications au traitement des images ultrasons et images radars.

• Mahdi Tekitek (La Rochelle Université)

Room: Amphi 400 Bât. d'Orbiny Dans ce travail seront étudiées des équations équivalentes de la méthode de Boltzmann sur réseau (LBM) à temps de relaxation multiple (MRT) pour simuler une équation d’advection-diffusion. Ensuite, cette méthode est utilisée pour la segmentation 3D de tumeurs de la peau dans des images ultrasons hautes fréquences puis pour traiter les images radar marines. Enfin on montre que avec la méthode LBM avec les bons choix de ses paramètres physiques et non-physiques est efficace pour les applications de traitement des images

Réunion du bureau de MARGAUx Room: 213 Bilan des journées Discussions libres