Année 2020-2021

Relaxation à la Ginzburg-Landau d'applications à valeurs dans une variété

par Antonin Monteil

Europe/Paris
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https://webconf.math.cnrs.fr/b/pau-fvx-pac Mdp 343477
Description

Dans cet exposé, nous considérerons le problème classique de minimisation de l'énergie de Dirichlet $\int_\Omega \vert\nabla u\vert^2$ sur un domaine planaire $\Omega\subset\mathbb{R}^2$ et pour une application $u$ à valeurs dans une variété Riemannienne $\mathcal{N}$, sujette à une condition de Dirichlet $u=\gamma$ sur $\partial\Omega$. Il est connu que si la classe d'homotopie de $\gamma$ est non-triviale, au sens où $\gamma$ n'est pas contractible en un point, alors l'espace admissible est vide. Cela nous amène à relaxer la contrainte ponctuelle $u\in\mathcal{N}$ par une pénalisation $\frac{1}{\varepsilon^2}W(u)$ dans l'énergie, conduisant dans la limite $\varepsilon\to 0$ à des applications harmoniques singulières, à savoir harmoniques en dehors d'un nombre fini de singularités ponctuelles dans $\Omega$. Le cas du cercle $\mathcal{N}=\mathbb{S}^1$, en lien avec la théorie de Ginzburg-Landau, a été traité dans un travail pionnier de Bethuel-Brezis-Helein dans les années 90'; en particulier, il est montré qu'une donnée au bord de degré $d$ conduit à $\vert d\vert$ singularités de degré tous $+1$ ou tous $-1$. Nous verrons qu'en général, le problème de minimisation conduit à l'ordre principal à un problème combinatoire non trivial consistant à décomposer la donnée au bord en une liste optimale de singularités topologiquement compatibles. Nous introduirons également une notion d'énergie renormalisée donnant des informations sur les applications harmoniques singulières minimales et leurs singularités. En particulier, nous caractériserons les singularités (blow-ups) dans le cas d'un espace homogène.

Organisé par

Paul Pegon