Travail en collaboration avec Pierre Berger (Sorbonne Université)
Si l'on étudie la dynamique d'une application holomorphe f sur une variété complexe M, il est possible de partitionner M en un ensemble de Fatou F(f), où la dynamique est localement équicontinue, et un ensemble de Julia J(f), où elle est chaotique. La question suivante est fondamentale: le comportement statistique d'un point de F(f) est-il toujours "simple" ?
En une variable complexe, dans un article majeur écrit dans les années 80's, Sullivan a prouvé que, si f est une fraction rationnelle de la sphère de Riemann, toute composante connexe de F(f) est nécessairement envoyée en un temps fini sur une composante périodique. Comme celles-ci sont classifiées (bassin attractif, bassin parabolique, domaine de rotation), la dynamique de f est bien comprise sur F(f) et la réponse à la question précédente est positive dans ce cas.
Je présenterai ensuite un travail récent où nous montrons l'existence de composantes de Fatou errantes (càd non prépériodiques) pour des automorphismes polynomiaux de C^{2}, ce qui répond à un problème posé par Bedford et Smillie (1991). Je décrirai finalement le comportement statistique des orbites dans la composante errante, ce qui donnera une réponse négative à la question précédente dans ce contexte.
