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L'équation cinétique des ondes apparaît en théorie de la turbulence faible d'ondes. Dans cet exposé nous nous intéressons à sa dérivation en tant qu'équation effective pour un système dont l'évolution au niveau microscopique est régie par l'équation de Schrodinger non linéaire (NLS). Plus précisément, nous considérons (NLS) dans un régime faiblement non linéaire sur un tore de dimension au moins égale à deux, et pour un champ gaussien fortement oscillant comme donnée initiale. Une conjecture en physique statistique est qu'il existe une échelle de temps cinétique sur laquelle, statistiquement, les modes de Fourier évoluent selon l'équation cinétique des ondes.
Il y a deux paramètres dans ce problème : la longueur d'oscillation du champ, et la force de la non linéarité. Le problème de savoir dans quel régime l'équation cinétique des ondes est rigoureusement valide est toujours ouvert. La relation de dispersion - de manière équivalente, la géométrie du tore - semble jouer un rôle important, puisque les propriétés de distribution de la forme quadratique sur les points à coordonnées entières qui lui est associée sont directement reliées à la structure des termes résonants dans la dynamique.
Dans le cas d'un tore standard, nous montrons qu'un seul régime particulier permet la convergence de la série de Dyson jusqu'au temps cinétique. Nous prouvons également, pour une relation de dispersion générique (tore non rectangulaire), que la série de Dyson converge pour des temps bien plus longs. Ceci nous permet dans un second temps de contrôler la solution complète jusqu'au temps cinétique, dans le régime particulier pour le tore standard, et pour un plus grand nombre de régimes pour des tores génériques, à erreur polynomial arbitrairement petite.
Ceci est un travail en collaboration avec P. Germain (Courant Institute, New York University).