Une surface lisse de R^4 a, en chaque point, 4 invariants locaux d'ordre deux bien connus: la courbure de Gauss K, la courbure normale N, l'invariant ∆ (sans nom) et la courbure moyenne H.
Je vais décrire ces invariants et plusieurs propriétés locales des surfaces de R^4 de forme unifié en termes de la caustique (formée par les centres de courbure), l'application de Gauss et la géométrie de l'espace des formes quadratiques (en deux variables).
Notamment, je vais montrer qu'on peut «lire» les invariants locaux d'une surface en termes de la géométrie de l'espace 3-dimensionnel des formes quadratiques (en deux variables), en utilisant ses structures naturelles pseudo euclidienne et d'algèbre de Lie (sl(2,R)).