Étant donné un groupe d'homéomorphismes d'un espace topologique, l'on peut s'interroger sur les conditions sous lesquelles les stabilisateurs de deux points sont isomorphes. Nous répondrons à cette question pour les groupes dont l'action est micro-supportée et "suffisamment minimale", une classe de groupes qui contient entre autres les groupes de Thompson, le groupe de Grigorchuk et les groupes pleins topologiques.