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v3.2.9
Soit $\Lambda$ un groupe totalement ordonné non trivial.
En 1994, Bennett a introduit une notion de $\Lambda$-immeuble qui généralise celle des immeubles de Tits. Si K désigne un corps $\Lambda$-valué, Bennett a construit un $\Lambda$-immeuble de type $A_n$ sur lequel le groupe $\mathrm{SL}_{n+1}(\mathbb{K})$ agit naturellement.
Soit $\mathbf{G}$ un groupe réductif quasi-déployé sur un corps $\Lambda$-valué $\mathbb{K}$ (supposé hensélien lorsque $\mathbf{G}$ est non-déployé).
Le but des deux exposés est d'expliquer, d'une part pourquoi la construction de Bruhat-Tits se généralise pour la paire $(\mathbf{G},\mathbb{K})$ en un espace qui est un $\Lambda$-immeuble au sens de Bennett;
d'autre part, d'expliquer comment cette construction munit naturellement les $\Lambda$-immeubles ainsi obtenus de certaines projections naturelles dont les images et les fibres sont encore des $\Lambda'$-immeubles pour certains groupes totalement ordonnés $\Lambda'$ non triviaux.
Dans ce premier exposé, on s'intéressera plus spécifiquement à la construction du $\Lambda$-immeuble. suivant la méthode de Bruhat-Tits. Celle-ci repose sur l'utilisation de sous-groupes parahoriques et d'une décomposition de Bruhat. On expliquera comment construire un modèle d'appartement à partir d'un corps $\Lambda$-valué et ce qu'est l'action du tore maximal et de son normalisateur sur cet espace.