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v3.2.9
Soit G un groupe de Lie réel semisimple, A son sous-espace de Cartan (ou “tore déployé maximal”), W = N_G(A)/Z_G(A) son groupe de Weyl restreint. Considérons une représentation irréductible de dimension finie rho de G (agissant sur un espace V).
Alors W a une action bien définie sur le sous-espace V^L formé par les vecteurs de V fixés par le centralisateur de A, appelé MA ou L. Nous nous intéressons en particulier à l'action sur V^L du mot le plus long w_0 du groupe de Weyl (l'unique élément qui envoie les racines restreintes positives sur les racines restreintes négatives). Nous nous posons la question suivante : dans quels cas cette action est-elle non triviale ? (Cette question est motivée par une certaine question en dynamique des groupes de transformations affines.)
Cette question se décompose naturellement en deux parties : quelles sont les représentations pour lesquelles, déjà, V^L est non trivial ? et puis, parmi celles-ci, quelles sont celles où, en plus, w_0 agit non-trivialement sur V^L ? Dans le cas particulier où G est déployé, la première question est très facile, et nous avons trouvé la réponse à la deuxième, qui est : “presque toutes”. Dans le cas général, j’ai récemment obtenu la réponse à la première question, et pour la deuxième
question je dispose de résultats expérimentaux. Je vais présenter tous ces travaux.