Séminaire Géométries ICJ

Invariants motiviques à l'infini d'un polynôme

by Michel Raibaut

Europe/Paris
112 (ICJ)

112

ICJ

1er étage bâtiment Braconnier, Université Claude Bernard Lyon 1 - La Doua
Description
Dans cet exposé, nous commencerons par rappeler les formules classiques reliant la caractéristique d'Euler d'une fibre d'un polynôme à coefficients complexes f, à ses singularités et à son défaut d'équisingularité à l'infini dans une compactification. En utilisant les techniques de Denef-Loeser et Guibert-Loeser-Merle, nous définirons ensuite des invariants motiviques à l'infini de f. 
Ceux-ci sont construits à l'aide d'une compactification mais n'en dépendent pas. Ils se réalisent sur les invariants topologiques classiques à l'infini de f et sont génériquement nuls. Il est alors naturel de se demander si la nullité de l'invariant motivique à l'infini pour une valeur a implique la trivialité topologique de f au voisinage de a. En utilisant certains résultats de Parusinski, nous considérerons par exemple le cas des singularités isolées à l'infini. Nous traiterons par exemple le cas à deux variables où les calculs peuvent être formulés en termes des polygones de Newton de f. Techniquement, lorsque le polynôme est non dégénéré pour son polygone de Newton, le calcul est aisé, dans le cas contraire, nous proposons un raisonnement par induction utilisant des transformations de Newton et des polygones itérés à hauteur décroissante. Enfin, si le temps le permet nous donnerons une version analytique à la Berkovich des invariants motiviques à l'infini. 

Travail en commun avec Pierrette Cassou-Nogues (Bordeaux) et Lorenzo Fantini (Frankfurt)