Sur les g-fractions de Wall : de Ramanujan à Poincaré [G-fractions of Wall : from Ramanujan conjecture to Three-Body problem]

par Prof. Alexei TSYGVINTSEV (ENS Lyon)

vendredi 25 janv. 2013, 14:45 → 15:45 Europe/Paris

Amphithéâtre Léon Motchane (IHES)

Résumé : En 1948 H.S. Wall a publié ses résultats sur la théorie analytique des fractions continues. Dans la première partie de cet exposé nous présentons une classe remarquable de fractions continues introduite par Wall et appelées g-fractions. Nous montrerons comment elles peuvent être utilisées pour approcher certaines applications analytiques bornées réelles. La deuxième partie de l'exposé sera consacrée aux applications de cette méthode. Nous discuterons de la conjecture de Ramanujan portant sur la convergence d'une des fractions continues, la théorie de renormalisation des applications unimodales (l'approche herglotzien de H. Epstein), et la sommabilité de séries de Poincaré-Sundman dans le problème des 3 corps. Abstract: In 1948 Hubert Wall introduced the particular class of analytic continued fractions called g-fractions. In the first part of this talk we describe briefly the definition and its principal properties. We show how g-fractions arise naturally in some problems related to dynamical systems theory and random walks. We introduce then the Ramanujan conjecture from the theory of limit periodic continued fractions and its solution given with help of g-fractions. The g-fractions can be effectively used in approximation theory. Here we explain how the anti-Herglotz functions approach of Henri Epstein can inspire us to use g-fractions in approximation of fixed points of renormalization operators in functional spaces. Finally, some applications of g-fractions to Sundman-Poincaré series from celestial mechanics are discussed.