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v3.2.9
Les géodésiques d'une variété riemannienne, disons d'une surface dans R^3, sont les courbes qui vont "tout droit" dans la variété : un petit morceau d'une géodésique est le chemin le plus court connectant ses extrémités. Dans cet exposé, je vais m'intéresser aux géodésiques fermées, c'est à dire celles géodésiques qui forment un cercle lisse immergé dans la variété. La variété la plus simple où visualiser les courbes géodésiques est la sphère unité dans R^3, dont les géodésiques sont les grands cercles. En particulier, elle est une surface du type Besse : chaque géodésique est fermée. D'autre part, si on considère une sphère quelconque plongée dans R^3, ce n'est pas evident que celle-ci possède des géodésiques fermées du tout. Cela est pourtant le cas : un théorème célèbre de Lusternik-Schnirelmann affirme qu'une sphère a toujours au moins trois géodésiques fermées simples. Dans cet exposé, j'esquisserai les idées de la preuve du théorème de Lusternik-Schnirelmann, et des généralisations récentes : le spectre de longueurs du flot géodésique d'une surface, c'est à dire l'ensemble des longueurs de ses géodésiques fermées, permet de determiner si la surface est du type Besse. Cet énoncé est valide même dans la classe plus générale des flots de Reeb d'une 3-variété de contact fermée.