Exemples simples de familles de variétés abéliennes associées à des automorphismes d’ordre fini d’algèbres de Lie simples

par Laurent GRUSON (Univ. Versailles St-Quentin)

jeudi 23 janv. 2020, 10:30 → 12:00 Europe/Paris

Salle 318 (IMB)

Soient $\mathfrak{g}$ une algèbre de Lie simple complexe, $\theta$ un automorphisme de $g$ d’ordre fini $n$, $\mathfrak{g}_m$ le sous-espace propre de $\mathfrak{g}$ pour $\exp(2im\pi /n)$. L’école soviétique (Vinberg) a étudié à fond la représentation $\mathfrak{g}_1 $ de l’algèbre de Lie semi-simple $\mathfrak{g}_0$, qui est corégulière (i.e. l’algèbre des fonctions polynomiales invariantes est un anneau gradué de polynômes).

Dans un grand nombre de cas, le stabilisateur (dans un groupe $G_0$ d’algèbre de Lie $\mathfrak{g}_0$) est un groupe fini. Un examen cas par cas montre qu’il s’agit souvent d’un groupe de Heisenberg de centre $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ dont la représentation « de Schrodinger » est une représentation fondamentale de $G_0$, ce qui suggère la présence d’une famille de variétés abéliennes dans l’espace projectif correspondant (selon un thème de Mumford). Je ne pense pas qu’il existe aujourd’hui de justification de cette interprétation qui soit indépendante de la classification russe des représentations corégulières: c’est ce que je voudrais discuter dans cet exposé.