on se placera dans le cadre d'un ouvert borné de R^2 avec condition de Dirichlet homogène au bord, où ces inégalités ont été originellement introduites par Trudinger et Moser. On commencera par décrire quelques résultats (maintenant plus ou moins classiques) donnant l'existence d'une extrémale sous certaines hypothèses (Carleson, Chang, Flucher, Lu, Struwe, Yang). On décrira ensuite un certain nombre de travaux plus récents discutant plus précisément ces hypothèses et donnant des exemples de telles inégalités sans extrémales (Ibrahim, Nakanishi, Masmoudi, Martinazzi, Mancini, Pruss, Sani, T.).