La fonction distance $d_F$ à un fermé $F$ de l'espace euclidien ${\bf R}^k$ est donnée par:
$$d_F(x)=\inf_{f\in F}\|x-f\|.$$
Cette fonction est lipschitzienne, elle es donc différentiable presque partout. Nous étudions la nature topologique de l'ensemble ${\rm Sing}(d_F)$ des points où elle n'est pas différentiable.
Plus généralement, nous discuterons les singularités des solutions de viscosité de l'équation de Hamilton-Jacobi sous forme évolution:
$$\partial_tU+H(x,\partial_xU)=0,$$
dans le cas d'un hamiltonien $H$ de type Tonelli, ainsi que certaines des applications en géométrie.
L'exposé s'adresse au mathématicien ``générique''. Les notions nécessaires seront introduites en cours d'exposé.