Séminaire de Géométrie

Analyse spectrale concrète de Laplaciens twistés sur certaines fonctions automorphes classiques et mixted

by Mr Aymane El Fardi (Université de Tours)

Europe/Paris
1180 (Bât E2) (Tours)

1180 (Bât E2)

Tours

Description

Une fonction automorphe peut être vu analytiquement comme une fonction quasi périodique par rapport à l’action d’un groupe \(\Gamma\) sur un espace \(M\), et avec un facteur phase généralement d'une forme particulière appelé facteur de l'automorphie. Géométriquement, ces facteurs phases encodent les fibrés endroits au-dessus de la variété \(\Gamma  \backslash M\) (dans notre cadre c’est un tore ou quasi-tore) et les fonctions automorphe représentent des sections lisse.

Lorsque le facteur de l'automorphie contient une partie transporté par un endomorphisme équivariant on appelle les fonctions automorphes associées f.a."mixed" sinon ils sont appelées "classiques".

Fixons le facteur de l'automorphie, on définit un Laplacien convenable qui agit sur ces fonctions automorphes et on étudie sa théorie spectacle concrètement, i.e. trouver le spectre et exhiber une base explicite pour les espace propres (qui s'écrivent généralement à l'aide des fonctions spéciales telles que les hypergéométriques, les  polynômes d'Hermite classique ou complexe, les Laguerres…).

Dans ce contexte je cite deux méthodes principales pour réaliser ce genre d'étude :  soit on développe en série de Fourier et on fait le calcul des coefficients de Fourier qui  respectent la contrainte de l'automorphie (avec des conditions de croissance) en se basant sur des techniques de calcule qui font appel à des identités sur les fonctions spéciales, soit on a recours à des manipulations sur le noyau reproduisant de l’espace fonctionnel pour construire un opérateur intégral de Hilbert-Schmidt qui commute avec le Laplacian, la méthode dite de A. Selberg.

D'autre part, la construction des fonctions automorphes est une question qui nous intéresse aussi, et cela se fait à l’aide de l’opérateur série de Poincaré associé au facteur de l’automorphie. Les questions maintenant sont : 1) de trouver les conditions pour avoir la convergence de la série,  et 2)  d’étudier le noyau de l’operateur pour s’assurer que la série ne produit que des fonctions nulles.