Le spectre d'un opérateur linéaire non auto-adjoint peut être très instable sous l'effet de petites perturbations, une instabilité parfois qualifiée d'"effet pseudospectral"; cet effet est visible, par exemple, lorsqu'on cherche à calculer le spectre d'un tel opérateur numériquement.
Nous nous intéressons à une classe d'opérateurs différentiels semiclassiques non auto-adjoints, soumis à de petites perturbations aléatoires. Des travaux de Hager et Sjöstrand ont montré que, dans la limite semiclassique et avec grande probabilité, les valeurs propres de l'opérateur perturbé se distribuent, à l'échelle macroscopique, de façon déterministe, en satisfaisant une "loi de Weyl" dans le plan complexe. D'une certaine manière, la perturbation aléatoire a l'effet de "stabiliser" le spectre.
Nous nous intéressons à la distribution des valeurs propres à l'échelle microscopique, en particulier aux corrélations statistiques entre les valeurs propres voisines. Dans le cas d'opérateurs unidimensionnels, nous montrons que ces corrélations satisfont une propriété d'universalité partielle: elles s'expriment en termes d'un objet aléatoire "universel", la Fonction Analytique Gaussienne (FAG), et de quelques paramètres de l'opérateur. La FAG était apparue précédemment dans le domaine du "chaos quantique", comme un modèle statistique de fonctions propres chaotiques en représentation holomorphe (représentation de Bargmann); dans notre cas, la FAG apparaît comme un déterminant spectral effectif de notre opérateur.
Il s'agit d'un travail en collaboration avec Martin Vogel.
