Séminaire EDP-Analyse ICJ

Régularité $C^{1,\alpha}$ pour les minimiseurs de la fonctionnelle de Griffith en 2D

par Antoine Lemenant (LJLL, Université Paris Diderot)

Europe/Paris
Fokko Du Cloux (ICJ, Université Claude Bernard Lyon 1)

Fokko Du Cloux

ICJ, Université Claude Bernard Lyon 1

Campus de la Doua, Bâtiment Braconnier, Villeurbanne
Description

La fonctionnelle de Griffith est une variante de la fonctionnelle de Mumford-Shah, qui met en compétition l’énergie élastique d’un déplacement u dans un domaine fissuré de type $\Omega \setminus K$, avec une énergie de surface, i.e. la mesure $H^1$ (i.e. longueur en $2$D) de l’ensemble K. Cette fonctionnelle intervient dans certains modèles variationnels de propagation de fissures, basés sur les postulats de A.A. Griffith (1893-1963) en rupture fragile. L’énergie élastique ressemble à une énergie de type Dirichlet sur la fonction  u, à valeurs vectorielles ($\mathbb{R}^2$), mais où seule la partie symétrique du gradient apparaît. Comparée à l’énergie « classique » de Mumford-Shah (1989), cette fonctionnelle donne lieu a des difficultés techniques majeures. En particulier l’inégalité de Korn dans le domaine irrégulier $\Omega \setminus K$ n’est pas disponible et de nombreux outils classiques du cas scalaire ne fonctionnent plus en vectoriel. Ceci explique par exemple que l’existence d’un minimiseur, établi en 1989 pour Mumford-Shah, n’ait été démontré que très récemment (2017) pour Griffith avec des outils nouveaux. Dans cet exposé je présenterai un résultat de régularité $C^{1,\alpha}$ sur l’ensemble singulier $K$, comparable au théorème de Bonnet (1996) ou David (1997) concernant Mumford-Shah, en essayant d’expliquer les difficultés rencontrées et l’approche utilisée pour les contourner. Le cas de la dimension $N>2$ reste encore largement ouvert. Ceci est un travail en collaboration avec J.-F. Babadjian et F. Iurlano.