Journées mathématiques X-UPS

15 avr. 2019, 10:00 → 16 avr. 2019, 16:00 Europe/Paris

Amphithéâtre Becquerel (École polytechnique)

                               Périodes et transcendance

                                       Journées mathématiques X-UPS 2019

Conférenciers

• Clément Dupont, Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck (Montpellier)
• Javier Fresán, École polytechnique (Palaiseau)
• Tanguy Rivoal, CNRS, Université Grenoble-Alpes (Grenoble)

Organisateurs scientifiques

• Pascale Harinck
• Alain Plagne
• Claude Sabbah

 Présentation du thème

Quels nombres réels ou complexes sont intéressants ? Entre les nombres rationnels et tous les nombres complexes, comment distinguer des sous-familles remarquables ? Les nombres algébriques, solutions d'équations polynomiales à coefficients entiers forment une petite famille. Parmi les nombres transcendants, les périodes forment une famille remarquable.

Les périodes sont des nombres (tels que π, ou les valeurs prises aux nombres entiers par des fonctions spéciales, telles que les logarithmes,  la fonction zêta ou ses généralisations multizêtas) qui peuvent s'écrire comme des intégrales de fonctions rationnelles sur des domaines semi-algébriques (le cercle de rayon 1, le disque correspondant, un simplexe à sommets entiers, etc.). Leur étude, qui a une longue histoire, a été revitalisée au tournant du siècle par un article de Kontsevich et Zagier dans lequel les auteurs conjecturent que toutes les relations algébriques entre ces nombres proviennent des relations évidentes du calcul intégral : additivité, changement de variables, formule de Stokes.

Les journées mathématiques X-UPS 2019 porteront sur divers aspects de la théorie des périodes, incluant entre autres leur définition et leurs propriétés élémentaires, quelques résultats de transcendance, l'exemple des valeurs des fonctions multizêtas aux entiers et le rapport avec les valeurs spéciales des fonctions G, introduites par Siegel, solutions de certaines équations différentielles d'une variable.

Présentation des journées

Les journées mathématiques X-UPS sont un stage de formation organisé par le Centre de mathématiques Laurent Schwartz de l'École polytechnique à l'intention des professeurs des classes préparatoires aux grandes écoles scientifiques.
Elles se tiennent tous les ans au printemps. L'inscription est gratuite mais obligatoire.
L'objectif est double : d'une part satisfaire l'intérêt des professeurs pour l'actualité de la recherche en mathématiques et en informatique, d'autre part leur apporter des connaissances utilisables dans leur enseignement.
Le stage comporte six ou sept conférences éventuellement accompagnées de démonstrations ou de travaux pratiques sur ordinateur. Nous souhaitons une participation active des stagiaires sous forme de discussion et questions aux conférenciers.

lundi 15 avril

10:00 Café d'accueil

1 Une introduction aux périodes (1)

Les périodes sont des nombres complexes (tels que π ou les valeurs prises aux entiers positifs par des fonctions comme le logarithme ou la fonction zêta de Riemann) dont les parties réelle et imaginaire peuvent s'écrire comme l'intégrale d'une fonction rationnelle à coefficients rationnels sur un domaine de l'espace affine réel défini par des inégalités polynomiales à coefficients rationnels. Selon une conjecture de Kontsevich-Zagier, toutes les relations algébriques parmi ces nombres devraient se déduire des règles évidentes du calcul intégral : additivité, changement de variables, formule de Stokes. Dans le premier exposé, j'expliquerai en détail la définition des périodes, ainsi que quelques propriétés élémentaires qui s'ensuivent, en les illustrant par de nombreux exemples. Dans le deuxième exposé, je me dirigerai doucement vers l’interprétation des périodes en termes de formes différentielles algébriques et de cycles topologiques sur les variétés algébriques, point de vue qui est à l'origine de toutes les percées récentes dans l'étude de ces nombres.

Orateur: Javier Fresán (École polytechnique)

Texte des exposés (pdf)

Vidéo de l'exposé

12:00 Discussion - Pause

12:30 Déjeuner

2 Valeurs zêta multiples (1)

Les valeurs zêta multiples forment une famille de constantes mathématiques fondamentales qui contient notamment les valeurs aux entiers de la fonction zêta de Riemann. Si Euler leur a consacré des travaux, c’est seulement à la fin du 20ème siècle que mathématiciens et physiciens ont réalisé l’importance de ces nombres qui apparaissent naturellement dans des situations variées. Des travaux récents (Goncharov, Deligne, Brown, …) ont mis en évidence une structure cachée qui est révélée par la géométrie : une théorie de Galois des valeurs zêta multiples. L’étude de cette structure a permis de prouver des résultats spectaculaires sur les relations algébriques satisfaites par ces nombres, que nous présenterons. Si le temps le permet, nous discuterons de l’apparition des valeurs zêta multiples en physique des particules à travers le calcul d’intégrales de Feynman.

Orateur: Clément Dupont (Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck)

Texte des exposés (pdf)

Vidéo de l'exposé

15:00 Discussion - Pause

3 E-fonctions et G-fonctions de Siegel (1)

Siegel a introduit en 1929 les E- et G-fonctions, deux classes de séries entières à coefficients algébriques et solutions d'équations différentielles à coefficients polynomiaux. Son but était de généraliser les théorèmes classiques d'Hermite, Lindemann et Weierstrass concernant la nature arithmétique des valeurs des fonctions exponentielle et logarithme aux points algébriques, que ces deux classes généralisent respectivement. Les E-fonctions contiennent les fonctions de Bessel par exemple, tandis que les G-fonctions contiennent les polylogarithmes multiples (donc les valeurs zêta multiples (MZV) par spécialisation) et sont fortement liées aux périodes de variétés algébriques sur Q.

Dans mon premier exposé, j'expliquerai comment l'on obtient ces résultats classiques au moyen de la théorie des approximants de Padé "explicites'', puis comment avec des méthodes "inexplicites'', Siegel et Shidlovsky ont obtenu leur célèbre résultat (1956) sur la nature arithmétique des valeurs de E-fonctions. Enfin, j'expliquerai comment Chudnovsky a complété en 1984 le programme de Siegel sur la nature diophantienne des G-fonctions.

Dans mon second exposé, j'expliquerai comment les travaux d'André, Chudnovsky et Katz ont permis d'élucider complètement la nature des équations différentielles vérifiées par les G-fonctions puis, par ricochet, comment André a pu en 2000 déterminer la nature des équations différentielles vérifiées par les E-fonctions. Je conclurai par les nouvelles applications arithmétiques que l'on a pu déduire récemment de ces propriétés différentielles et qui complètent le théorème de Siegel-Shidlovsky (travaux d'André, Beukers, Adamczewski-Rivoal).

Orateur: Tanguy Rivoal (CNRS, Université Grenoble-Alpes)

Texte des exposés (pdf)

Transparents des exposés (pdf)

16:45 Présentation de PAESTEL par Daphné Giorgi, http://paestel.fr/

mardi 16 avril

4 E-fonctions et G-fonctions de Siegel (2)

Orateur: Tanguy Rivoal (CNRS, Université Grenoble-Alpes)

10:30 Discussion - Pause

5 Une introduction aux périodes (2)

Orateur: Javier Fresán (École polytechnique)

Vidéo de l'exposé

12:00 Discussion - Pause

12:30 Déjeuner

6 Valeurs zêta multiples (2)

Orateur: Clément Dupont (Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck)

Vidéo de l'exposé