Mesures gaussiennes pour l'inférence bayésienne sur quelques exemples...

par Xavier BAY (Ecole des Mines de Saint-Etienne)

vendredi 22 juin 2018, 10:00 → 11:00 Europe/Paris

Salle C 112 (UJM Campus Métare)

Résumé :

Les processus aléatoires gaussiens (ou champs gaussiens) jouent un rôle central dans la modélisation probabiliste de phénomènes aléatoires, en particulier pour la prévision (exemple des modèles ARMA gaussiens dans l'étude de séries chronologiques) et aussi la prédiction (exemple des champs gaussiens stationnaires en géostatistique ou imagerie). La raison essentielle tient au fait que le calcul de loi conditionnelle dans le cas gaussien (pour faire de la prévision ou prédiction) se ramène à un calcul d'ordre 2 (calcul de projection orthogonale dans des espaces hilbertiens), donc à de l'algèbre linéaire (inversion de systèmes linéaires). C'est pour cette même raison que les processus ou champs gaussiens jouent un rôle privilégié dans l'analyse statistique bayésienne où l'inférence à partir de la loi a posteriori (qui intègre à la fois les incertitudes a priori et des observations) nécessite en général le plus souvent l'utilisation de techniques lourdes (cf. méthodes Monte-Carlo par simulation de chaînes de Markov ou Markov chain Monte-Carlo methods).

L'objectif de l'exposé est de montrer d'abord sur quelques exemples simples en quoi les processus ou champs gaussiens peuvent être utilisés dans un cadre bayésien en mettant en avant leur double face : côté pile comme collection de variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé (dont les "réalisations" plus ou moins régulières rendent compte de certains phénomènes observés, cf. mouvement brownien par exemple) et côté face comme mesures de probabilité sur un espace de fonctions pouvant aussi présenter certaines propriétés de régularité. C'est cette dernière vision "mesures gaussiennes" qui est mise à profit dans le cadre de la statistique bayésienne. On reprendra en particulier le lien entre interpolation optimale dans un RKHS et estimation bayésienne (cf. dernier exposé de Laurence) avec le cas particulier du mouvement brownien vu comme la "fameuse" mesure de Wiener sur un espace de fonctions continues. Un deuxième objectif sera de montrer comment l'inférence bayésienne avec loi a priori gaussienne peut être réalisée sur le problème classique de "défloutage" d'un signal (problème de déconvolution) qui est un exemple type de problème mal posé. On montrera sur ce cas particulier en quoi la régularisation classique du problème au sens de Tychonov peut être vue comme de l'estimation bayésienne (résultat exactement analogue à celui exposé par Laurence). Enfin, on mettra à profit ce lien pour voir comment estimer de manière "naturelle" le paramètre de régularisation si critique dans l'approche "déterministe" classique...