Combinatoire des triangulations de variétés en dimension 3

par Valentin Bonzom (LIPN, Paris 13)

vendredi 15 juin 2018, 14:00 → 15:00 Europe/Paris

Fokko du Cloux (Institut Camille Jordan)

Les triangulations de surfaces, ou plus généralement les cartes combinatoires qui sont des collages de polygones formant des surfaces, sont des objets bien étudiés, qui apparaissent en gravité quantique, combinatoire, géométrie énumérative, matrices aléatoires, etc. Étendre ces résultats en dimensions supérieures est un problème difficile bien connu. En particulier, on ne sait pas si le nombre de triangulations de la 3-sphere est borné exponentiellement en le nombre de tétraèdres. Ici nous montrerons qu'il existe cependant, dans les cadre des triangulations dites colorées, une généralisation purement combinatoire de la relation d'Euler pour les collages de tétraèdres. Nous pouvons même prouver un résultat d'universalité : pour toute sous-famille dont les blocs de construction sont homéomorphes à des 3-boules, les collages qui maximisent le nombre d'arêtes à nombre de tétraèdres fixés sont toujours en bijection avec des arbres, ce qui contrastent avec la famille des cartes planaires en dimension 2. Ce résultat suggère également que certaines distributions sur des tenseurs aléatoires convergent vers des gaussiennes dans la limite de grande taille.