Sur les billards polynomialement intégrables dans les surfaces à courbure constante

par Alexey Glutsyuk

vendredi 1 déc. 2017, 10:30 → 11:30 Europe/Paris

Salle 112 (ICJ)

La version algébrique de la célèbre conjecture de Birkhoff (partiellement étudiée par Sergei Bolotin, Misha Bialy et Andrey Mironov) concerne un billard planaire dont le flot géodésique possède une intégrale première non triviale polynomiale en le vecteur de la vitesse. (L'integrale triviale est le module de la vitesse.) Elle affirme, que s'il existe une intégrale polynomiale, qui est non constant le long de l'hypersurface de niveau unité du module de la vitesse, alors la table du billard est une ellipse. Nous présenterons sa solution, avec la généralisation au cas d'une frontière lisse par morceaux et pas forcement convexe: la classification complète des billards polynomialement intégrables. Nous en présenterons une généralisation aux billards sur une surface quelconque à courbure constante. Ceci est un résultat en commun avec Misha Bialy et Andrey Mironov, de trois articles séparés: deux articles de Bialy et Mironov et le preprint du conférencier (la preuve dans le cas Euclideen est disponible sur l'archive; la preuve dans le cas général de courbure constante est en préparation). Nous ferons un survol de résultats concernant la conjecture originale (non algébrique) de Birkhoff, avec les résultats remarquables récents de Vadim Kaloshin, Alphonso Sorrentino et al.