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Séminaire Physique mathématique ICJ

Cohomologie des algèbres de Lie-Rinehart

by Friedrich Wagemann (Université de Nantes)

vendredi 29 septembre 2017 de au (Europe/Paris)
at Institut Camille Jordan ( 112 )
Université Lyon 1, Bât. Braconnier, 21 av. Claude Bernard, 69100 Villeurbanne
Description
Dans ce travail en commun avec Bas Janssens, nous calculons le premier
espace de cohomologie d'une algèbre de Lie-Rinehart (sous quelques conditions techniques).
La notion d'algèbre de Lie-Rinehart est la version algébrique de celle d'un algébroide de Lie,
i.e. pour une K-algèbre commutative R donnée, il s'agit une K-algèbre de Lie L qui est un R-module
et dont le crochet vérifie une relation de Leibniz par rapport à la multiplication par des éléments de R.
En outre, il y a une ancre, i.e. un homomorphisme de R-modules et d'algèbres de Lie pi:L->Der(R).
Les deux cas extrèmes sont d'une part l'algèbre de Lie des champs de vecteurs (pi=id) et une K-algèbre de
Lie (R=K, pi=0).

Dans ce cadre algébrique, nous définissons une catégorie de modules M "d'ordre 1", et nous calculons H^1(L,M).
Pour M=L^*, cela inclut le calcul du H^2 à coefficients triviaux. Les deux points importants de notre étude sont
le fait que (sous des conditions techniques) tout 1-cocycle est un opérateur différentiel d'ordre au plus 5, et
l'introduction de l'algèbre de Lie-Rinehart des k-jets, J^kL. Nous montrons que la partie du H^1(L,M) qui est
représentée par des opérateurs différentiels d'ordre k est isomorphe à H^1_R(J^kL,M), ce dernier espace étant celui
de la cohomologie R-linéaire.
Contact Email: vignes@math.univ-lyon1.fr