Théorie de Galois des équations aux différences, classique et paramétrée.

• Charlotte Hardouin (Université Toulouse)

Dans la première partie de ce cours, j'essayerai de montrer comment on peut attacher à toute équation fonctionnelle discrète linéaire, un groupe de Galois qui tient lieu de groupes de symétrie entre les solutions de l'équation. La structure de groupe algébrique du groupe de Galois est en correspondance avec les relations algébriques satisfaites par les solutions. A travers des exemples, je montrerai la spécificité de cette théorie de Galois vis à vis de son analogue différentiel et donnerai quelques applications dans le domaine des fonctions spéciales et séries génératrices issues de la combinatoire. Dans une seconde partie, je m'attacherai à présenter un analogue paramétrée de cette théorie de Galois qui permet de traiter les problèmes de dépendance différentielle entre les solutions.

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E-fonctions et E-opérateurs

• Tanguy Rivoal (Université Grenoble)

Les E-opérateurs sont des opérateurs différentiels à coefficients polynomiaux, définis et étudiés par André en 2000. Ils forment le pendant pour les E-fonctions des G-opérateurs pour les G-fonctions, en particulier toute E-fonction est annulée par un E-opérateur. Après avoir rappelé les principales propriétés de ces opérateurs, je donnerai la preuve d'un résultat, récemment obtenu avec J. Roques, concernant les E-opérateurs qui admettent une base de solutions holomorphes à l'origine.

Preuves algorithmiques de transcendance pour les séries formelles différentiellement finies

• Alin Bostan (INRIA Saclay)

Si une suite de nombres rationnels est donnée par une récurrence linéaire à coefficients polynomiaux et suffisamment de termes initiaux, il est naturel de s'intéresser à la transcendance de la série génératrice associée. Plusieurs critères de transcendance existent, mais aucun ne permet de couvrir tous les cas. En outre, il existe des exemples concrets venant d'applications où aucun critère ne s'applique. Se pose ainsi la question de l'existence d'un algorithme permettant de prouver la transcendance d'une série formelle différentiellement finie, c'est-à-dire vérifiant une équation différentielle linéaire à coefficients polynomiaux. Le problème est non-trivial même lorsque la récurrence est de premier ordre. Un algorithme dû à Michael Singer suffit, en principe, à traiter le cas général. Toutefois, l'algorithme a une complexité trop élevée pour être efficace en pratique. Nous présenterons une nouvelle méthode que nous avons utilisée pour prouver la transcendance de plusieurs séries génératrices provenant de la combinatoire énumérative. Le nouvel algorithme repose sur le calcul d'une équation différentielle d'ordre minimal, via des bornes obtenues par l'analyse des possibles singularités apparentes. On ramène ainsi la question de la transcendance à un problème d'algèbre linéaire structurée.

Dénombrement de chemins dans un quadrant : une approche via les invariants de Tutte

• Mireille Bousquet-Melou (Université Bordeaux)

Le dénombrement de chemins du plan confinés dans le premier quadrant mène à des équations fonctionnelles qu'on appelle parfois "à variables catalytiques". On s'intéresse à la nature des séries génératrices associées : quand sont-elles algébriques, ou différentiellement finies, par exemple ? Des équations semblables sont apparues dans les années 70-80 lors du dénombrement, par Tutte, de cartes planaires proprement colorées. Nous appliquons puis étendons certaines de ses idées -- notamment la notion-clé d'invariant -- au dénombrement des chemins du quadrant. Ceci permet tout d'abord de revisiter la classification (connue) de ces problèmes, et fournit (selon les pas autorisés) des preuves uniformes d'algébricité ou d'algébricité différentielle. (travail en commun avec Olivier Bernardi et Kilian Raschel)

On the direct problem in differential Galois theory

• Lucia Di Vizio (Université Versailles)

I will describe an algorithm that produces a system of generators of the Lie algebra of an aboslutely irreducible linear differential equation over the field rational functions with complex coefficients. This is a joint work with M. Barkatou, T. Cuzeau et J.-A. Weil.

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Une introduction à la théorie des modèles. Compacité et propriétés asymptotiques.

• Amador Martin-Pizarro (Université Fribourg)

Dans ce cours de nature introductoire, nous allons voir les bases de la théorie des modèles, entre autres, les notions de langages de premier ordre, formules et structures. Le but du cours est de donner une démonstration du théorème du compacité à l'aide des ultrafiltres pour conclure avec des applications de ce principe à la Lefschetz. Le cours est orienté à un public sans connaissances au préalable en logique mathématique.

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Théorie de Galois des équations aux différences, classique et paramétrée. (2/4)

"Mock"-caractères et symbole de Kronecker

• Jean-Paul Allouche (Université Paris 6)

Nous étudions une famille de fonctions que nous appelons "mock"-caractères. Ces fonctions ont plusieurs propriétés intéressantes, et ce sont parmi toutes les fonctions arithmétiques complètement multiplicatives celles qui ressemblent le plus aux caractères de Dirichlet. Au passage nous établissons quelques propriétés du symbole de Kronecker.

Critères pour l’indépendance algébrique et au-delà

• Patrice Philippon (Université Paris 6)

Après un survol historique des critères pour l’indépendance algébrique, j’expliquerai comment des propriétés d’approximation algébriques des points des espaces projectifs en offrent une alternative plus souple. Notamment, on peut espérer que la construction de telles approximations en présence d’une structure différentielle ou fonctionnelle, permettra d’aller au-delà des résultats d’indépendance algébrique connus.

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Une introduction à la théorie des modèles. Compacité et propriétés asymptotiques. (2/3)

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Théorie de Galois des équations aux différences, classique et paramétrée. (3/4)

Sur les valeurs zêta en caractéristique non nulle

• Federico Pellarin (Université Lyon)

Lien entre unité de Stark et groupe des classes

• Coline Wiatrowski (Université Lyon)

Les unités de Stark, dont la définition repose sur la conjecture bélienne de Stark de rang 1, représentent une généralisation des unités cyclotomiques. Leur existence est conjecturale, mais on peut s’intéresser à leurs propriétés algébriques afin de mieux les cerner. Il existe notamment, dans le cas semi-simple et pour certains types d'extensions, des formules d'indice concernant la taille du groupe que les unités de Stark engendrent dans le groupe des unités. Dans cet exposé, nous donnerons une nouvelle interprétation de ces formules d'indice en terme d'égalité entre les idéaux de Fitting des p-parties du groupe des classes et du groupe des unités quotienté par l'unité de Stark. Nous verrons également pourquoi ce résultat a des chances de s'étendre au cas non semi-simple, pour lequel les formules d'indice font défaut.

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Autour de certaines propriétés arithmétiques des fonctions de Mahler

• Julien Roques (Université Grenoble)

L’étude des fonctions de Mahler et de la transcendance de leurs valeurs aux points algébriques a été initiée par Mahler dans les années 30 et a ensuite été développée par plusieurs auteurs. Dans cet exposé, nous allons aborder quelques aspects arithmétiques des fonctions de Mahler. Lorsque f(x) est un série formelle satisfaisant une équation de la forme f(x) =p(x)f(x^l), où p(x) est un polynôme à coefficients entiers et où l est un entier supérieur ou égale à 2, nous montrerons comment certaines caractéristiques de f(x) se reflètent sur p(x), notamment en liaison avec la théorie des automates. Si le temps le permet, nous aborderons quelques analogies entre les fonctions de Mahler et les E- et les G-fonctions. Il s’agit d’un travail en commun avec Sara Checcoli.

Une introduction à la théorie des modèles. Compacité et propriétés asymptotiques. (3/3)

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Théorie de Galois des équations aux différences, classique et paramétrée. (4/4)