Les représentations de Hitchin sont un exemple paradigmatique de représentations d'Anosov et ont été largement étudiées comme analogues en rang supérieur de l'espace de Teichmüller. Labourie a prouvé l'existence de courbes équivariantes dans l'espace des drapeaux complets. La trace de ces courbes dans l'espace projectif est toujours de classe C1 mais les courbes ne sont en général pas plus lisses que Hölder. Dans cet exposé on va donner une preuve du fait suivant : si la courbe est lisse alors la représentation est Fuchsienne. Les techniques sont aussi importantes pour des résultats de rigidité pour l'exposant critique. Cela fait partie d'un travail en collaboration avec A. Sambarino.
