Dans cette série d'exposés je vais vous raconter une manière géométrique de comprendre et de montrer le théorème de l'indice d'Atiyah-Singer basée sur la déformation des noyaux des opérateurs. Cette approche suit les idées de Connes sur l'utilisations des groupoides de déformation (on va expliquer tout ceci). On va expliquer comme ces idées permettent d'obtenir des théorèmes d'indice dans des cadres géométriques très différents d'une manière unifiée, on donnera beaucoup d'exemples, le cas des familles, des feuilletages, le cas à bord, le cas de variétés à coins, dans certains cas on verra comme obtenir des formules et dans d'autres on discutera quels sont les difficultés techniques pour les obtenir. Je vais essayer d'introduire (au moins avec des exemples) toutes les notions utilisés. En résumé on peut diviser la présentation en plusieurs points:
- Théorème des noyaux de Schwartz.
- Déformation des noyaux ou (en fonction du point de vue) quantification par déformation stricte, surtout la déformation associée à une variété lisse compacte.
- K-théorie topologique et morphismes d'indice.
- Le théorème de l'indice d'Atiyah-Singer.
- Algébroides de Lie, modules de champs de vecteurs intégrables et opérateurs différentiels (beaucoup d'exemples).
- Groupoïdes de Lie et Microlocalisation (opérateurs pseudo-différentiels) (beaucoup d'exemples).
- Groupoïdes de déformation et théorèmes d'indice dans plusieurs contextes géométriques.
