Minimisation d'énergie pour les condensats de Bose-Einstein par un schéma volumes finis

par M. Robin Roussel (LPP, Université de Lille)

mardi 22 sept. 2026, 14:00 → 15:00 Europe/Paris

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Dans cet exposé, nous nous intéressons au problème de minimisation de l’énergie de Gross-Pitaevskii sous une contrainte de masse fixée. Cette énergie permet notamment de modéliser des condensats de Bose-Einstein, dont les interactions entre particules sont décrites par un terme non linéaire. Nous nous intéressons en particulier au cas où le condensat est en rotation autour d’un axe fixe.

Après avoir présenté brièvement le modèle physique ainsi que quelques propriétés mathématiques du problème continu, nous nous intéresserons à sa discrétisation par une méthode de volumes finis. Nous commencerons par rappeler la construction classique du laplacien en volumes finis, puis nous nous concentrerons sur la discrétisation du terme associé au moment angulaire.

Nous présenterons ensuite notre principal résultat théorique : lorsque le diamètre du maillage tend vers zéro, les minimiseurs de l’énergie discrétisée convergent vers des minimiseurs du problème continu. Nous donnerons les grandes lignes de la preuve, puis nous présenterons des résultats numériques. Ceux-ci mettent notamment en évidence l’apparition de vortex quantiques dans les minimiseurs de l'énergie.

Dans une dernière partie, nous nous intéresserons à une méthode de gradient normalisé à temps continu permettant de calculer les minimiseurs. Nous montrerons en particulier une convergence exponentielle vers les minimiseurs locaux. A l’aide d’illustrations numériques, nous discuterons également de l’influence de l’invariance de phase globale et de la présence ou non de symétries de rotation sur cette propriété de convergence.