Limites d’échelle de modèles individu-centrés en dynamique adaptative et extinction locale de populations

• Nicolas CHAMPAGNAT (INRIA Nancy-Grand Est et Institut Élie Cartan de Lorraine)

Room: Salle de Conférences On considère un modèle individu-centré stochastique pour la dynamique adaptative, comprenant naissances, morts, mutations et sélection. L’objectif de l’exposé est de décrire comment les hypothèses biologiques de grande population, mutations rares ou petits effets des mutations peuvent être combinées pour obtenir des modèles macroscopiques de différentes nature. On considère donc trois paramètres d’échelle (représentant la taille de la population, le taux de mutation, et la taille des mutations). On décrira d’abord des limites d’échelle conduisant à des modèles d’EDP (équation intégro-différentielle, équation de Hamilton-Jacobi), puis des limites d’échelle qui préservent l’aléa des mutations (marche adaptative, équation canonique). Motivé par les critiques de biologistes concernant l’absence d’extinctions locales dans les premiers modèles et l’échelle de temps évolutive trop longue dans la seconde, on introduira de nouvelles limites d’échelle permettant de caractériser l’évolution de tailles de populations de l’ordre de $K^\beta$, $0\leq\beta\leq 1$, où $K$ est l’ordre de grandeur de la taille totale de la population. Cette présentation rassemblera des résultats obtenus avec plusieurs collaborateurs : Régis Ferrière, Sylvie Méléard, Viet Chi Tran, Sepideh Mirrahimi.

Multi-type logistic branching processes with selection: frequency process and genealogy for large carrying capacities

• Marta Dai Pra (Université de Bielefeld)

Room: Salle de Conférences We present a model for growth in a multi-species population. We consider two types evolving as a logistic branching process with mutation, where one of the types has a selective advantage. We first study the frequency of the disadvantageous type, once the population approaches the carrying capacity. Adapting techniques from Katzenberger, we show that this process converges to a Gillespie-Wright-Fisher diffusion process. We then study the dynamics backward in time: we fix a time horizon at which the population is at carrying capacity and we study the ancestral relations of a sample of individuals. We prove that, provided that the advantageous and disadvantageous branching measures are stochastically ordered, this ancestral line process converges to the moment dual of the limiting diffusion.

Couplings for stochastic model reduction of gene regulatory networks with transcriptional bursting

• Mathilde Gaillard (Institut Élie Cartan de Lorraine)

Room: Salle de Conférences Single-cell data have revealed the presence of biological variability between cells of identical genome and environment, highlighting not only epigenetic aspects but also the stochastic nature of gene expression. In the context of regulatory networks underlying cell states and types, we need to consider models that take into account both stochasticity and the interaction of genes with each other. Here we focus on two dynamical models of gene expression, formulated as a piecewise-deterministic Markov process (PDMP) and describing an arbitrary number of interacting genes. The first model simplifies the gene expression mechanism by considering that a gene is transcribed into messenger RNA, which in turn is translated into protein. While this stochastic model is able to reproduce the biological variability measured experimentally, it remains mathematically complex and difficult to study. For this reason, a simplified model involving only proteins is often considered. In this talk, we demonstrate using coupling methods that, in a specific parameter regime, the simplified model is an approximation of the model with two layers.

Slow-fast limit of a stochastic particle system arising in telomere biology

• Juan Mardomingo Sanz (Institut Élie Cartan de Lorraine)

Room: Salle de Conférences The ends of linear chromosomes, called telomeres, shorten at each cell replication, eventually driving the cells to a senescent state when they become too short. The enzyme telomerase, present in cancerous cells and some unicellular organisms, elongates the telomeres and allows cells to continue replicating. Recent experiments show that if this enzyme is inactivated some rare survivors (ALT), which elongate their telomeres without telomerase, will appear and will eventually invade the cultures. I will present a simple stochastic particle system which accounts for the emergence and invasion of these ALT cells under an appropriate scaling with different speeds for each cell type and with rare mutations. This rare-mutations assumption will imply that the mutant population stems from only one individual, which will require a sharp control of the exponents of the "branching-like" process at the beginning of the invasion.

Système de particules pour la modélisation de l'interaction cancer-immunité

• Violette Kubiaczyk (LPSM, Sorbonne Université)

Room: Salle de Conférences Nous étudions un système de particules en interaction décrivant la dynamique de naissance et de mort des cellules cancéreuses et immunitaires. Nous établissons un résultat de limite en champ moyen pour le processus renormalisé, qui permet de caractériser la dynamique déterministe obtenue. Nous étudions ensuite le régime stationnaire de cette dynamique et l'appliquons à des données réelles afin d'estimer les taux de naissance et de mort des cellules.