François Thilmany - Partenaires de ping-pong pour les sous-groupes finis des groupes linéaires

mardi 12 mai 2026, 14:00 → 15:00 Europe/Paris

435 (UMPA)

Dans son article sur les sous-groupes libres des groupes linéaires, Tits démontre la célèbre alternative : un groupe linéaire est soit virtuellement résoluble, soit contient un sous-groupe libre non-abélien. Ce résultat frappant de Tits a depuis été généralisé et appliqué de multiples façons. 

 

La question suivante, posée par de la Harpe et ses collaborateurs, demeure toutefois ouverte. Soit $G$ un groupe de Lie semi-simple sans facteurs compacts et de centre trivial, et soit $\Gamma$ un sous-groupe Zariski-dense de $G$. Étant donné un sous-ensemble fini $F$ de $G$, est-il toujours possible de trouver un élément $\gamma \in \Gamma$ tel que, pour tout $h \in F$, le sous-groupe engendré par $h$ et $\gamma$ soit librement engendré ? (Dans ce cas, on dit que $h$ et $\gamma$ sont des partenaires de ping-pong.)

 

Dans cet exposé, nous aborderons une variante du problème de de la Harpe, où $F$ est un ensemble fini de sous-groupes finis $H_i$ de $G$. En affinant soigneusement les principales étapes de la démonstration de Tits (que nous rappellerons), nous donnerons des conditions suffisantes pour l'existence de partenaires de ping-pong pour les $H_i$ dans tout sous-groupe $\Gamma$ Zariski-dense. 

Nous montrerons ensuite que ces conditions sont satisfaites notamment pour tout produit de copies de $\mathrm{SL}_n$ ($n>1$) sur une $\mathbb{R}$-algèbres à division. 

 

L'existence de tels produits libres a des applications dans la théorie des anneaux de groupes finis, qui seront évoquées brièvement. 

 

Travail en collaboration avec G. Janssens et D. Temmerman.