Un billard planaire convexe définit une transformation agissant sur les droites orientées par reflection. Une courbe s'appelle sa caustique, si l'image
de toute sa droite tangente lui est tangente aussi. La conjecture de Birkhoff concerne les billards intégrables, c'est a dire, admettant un feuilletage par caustiques fermées au voisinage de sa frontière. Autrement dit, les billards dont le flot sur le fibre tangent admet une integralle première indépendante
du module de la vitesse. La conjecture affirme, que tout billard intégrable est une ellipse. Elle est ouverte, ainsi que sa version
algébrique (avec l'integralle polynomiale en les vitesses) et sa version pour les billards extérieurs.
Nous en présenterons un survol historique et montrons, que tout billard extérieur
admettant une intégrale première polynomiale est elliptique (travail avec Eugenii Shustin, voir la reference ci-dessous).
Nous discuterons aussi un résultat positif partiel
concernant la version algébrique de la conjecture de Birkhoff (travail avec Misha Bialy et Andrei Mironov).